线性变换与基变换
学习目标
完成本节后，你将能够： - 理解线性变换在不同基下的矩阵表示 - 进行基变换 - 理解相似矩阵 - 将抽象向量空间思想推广到函数空间
1. 线性变换在不同基下的表现
### 1.1 核心思想
同一个线性变换在不同基下有**不同的矩阵表示**。
设 \(T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) 是线性变换： - 在标准基下的矩阵为 \(A\) - 在基 \(\mathcal{B}\) 下的矩阵为 \(B\) - \(P\) 是从标准基到基 \(\mathcal{B}\) 的过渡矩阵
则：\(B = P^{-1} A P\)
> **直觉 (3Blue1Brown)**：不同基下的矩阵就像用不同语言描述同一个故事。\(P\) 是"翻译器"——它将一种语言的坐标翻译为另一种语言。\(B = P^{-1}AP\) 意味着：先翻译 → 应用变换 → 再翻译回来。
### 1.2 相似矩阵
\(B\) 和 \(A\) 相似如果存在可逆 \(P\) 使得 \(B = P^{-1}AP\)。
相似矩阵的共同性质： - 相同的特征值 - 相同的行列式 - 相同的迹 - 相同的秩
2. 对角化 = 找最好的基
\[A = S\Lambda S^{-1}\]
这实际上就是基变换！\(S\) 是过渡矩阵，\(\Lambda\) 是变换在特征向量基下的矩阵。
为什么特征向量基这么好？ 因为在这个基下，线性变换变得极其简单——只是一个对角矩阵（沿各轴独立缩放）。
3. 相似变换的几何
# 演示相似变换
A = np.array([[2, 1],P = np.array([[1, 1], [0, 1]]) # 过渡到新基 P_inv = np.linalg.inv(P)
B = P_inv @ A @ P # 新基下的矩阵 print("标准基下的 A:") print(A) print("\n新基下的 B (相似变换):") print(np.round(B, 3))
# 验证特征值不变 print("\nA 的特征值:", np.linalg.eigvals(A)) print("B 的特征值:", np.linalg.eigvals(B)) ```
4. 抽象向量空间
### 4.1 从箭头到函数
> **直觉 (3Blue1Brown)**：你可能会想"向量空间"只是一个关于箭头的理论。但当你意识到**函数也是向量**时，视野就彻底打开了。
函数向量空间： - 加法：\((f+g)(x) = f(x) + g(x)\) - 数乘：\((cf)(x) = c \cdot f(x)\) - 零向量：\(f(x) = 0\) 对所有 \(x\)
无穷维向量空间：所有多项式、所有连续函数——都是向量空间，但它们需要无穷多个基才能描述。
### 4.2 函数的基
傅里叶级数就是函数在三角基下的分解：
\[f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\]
这本质上就是线性代数！\(\{1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \ldots\}\) 是一组正交基。
5. 本节习题
- 在基 \(\mathcal{B} = \{[1,1], [1,-1]\}\) 下，旋转 90 度的矩阵是什么？
- 证明：相似矩阵的特征多项式相同
- 证明：对所有 \(x\) 都满足 \(A\mathbf{x} = B\mathbf{x}\) 的 \(A\) 和 \(B\) 必然相等
- 函数 \(f(x) = 1, g(x) = x, h(x) = x^2\) 是否线性无关？
- 理解：为什么微分算子 \(\frac{d}{dx}\) 是线性变换？
总结
- 线性变换在不同基下有不同矩阵表示 - \(B = P^{-1}AP\) 是基变换公式 - 对角化 = 在特征向量基下变换最简 - 向量空间的概念可以推广到函数空间