对称矩阵与正定性

对称矩阵与正定性

学习目标

完成本节后，你将能够： - 理解对称矩阵的特殊性质 - 判断矩阵是否正定 - 理解正定矩阵的几何意义 - 应用正定矩阵解决最优化问题

1. 对称矩阵

### 1.1 谱定理

定理：对称矩阵 \(A = A^T\) 可被正交对角化：

\[A = Q\Lambda Q^T\]

其中 \(Q\) 是正交矩阵（\(Q^TQ = I\)），\(\Lambda\) 是实对角矩阵。

三个关键结论（都来自谱定理）： 1. 对称矩阵的特征值全是实数 2. 对称矩阵的特征向量相互正交 3. 对称矩阵可被正交对角化

### 1.2 特征值为实的证明

设 \(A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}\)，\(A = A^T\)： \[\bar{\mathbf{x}}^T A \mathbf{x} = \lambda \|\mathbf{x}\|^2\] 左边取共轭转置：\((\bar{\mathbf{x}}^T A \mathbf{x})^H = \mathbf{x}^T A^T \bar{\mathbf{x}} = \mathbf{x}^T A \bar{\mathbf{x}} = \bar{\lambda}\|\mathbf{x}\|^2\) 但左边也是实数（因为 \(A\) 对称），所以 \(\lambda = \bar{\lambda}\)。

2. 正定矩阵

### 2.1 定义

对称矩阵 \(A\) 正定，如果对所有非零 \(\mathbf{x}\)：\(\mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0\)。

几何意义：二次型 \(f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}\) 是一个向上的碗（椭球抛物面）。

> **直觉**：正定矩阵的二次型就像物理中的势能——在平衡点处，任何偏离都会增加能量。这就是为什么正定矩阵在优化中如此重要（它对应局部极小值）。

### 2.2 五个等价条件

  1. \(\mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0\) 对所有 \(\mathbf{x} \neq \mathbf{0}\)
  2. 所有特征值 > 0
  3. 所有主元 > 0
  4. 所有顺序主子式 > 0
  5. 存在可逆 \(R\) 使得 \(A = R^T R\)
def check_positive_definite(A):

# 测试1：特征值 eigvals = np.linalg.eigvalsh(A) tests["特征值>0"] = np.all(eigvals > 1e-10)

# 测试3：主元 LU = np.linalg.lu(A) pivots = np.diag(LU[2]) tests["主元>0"] = np.all(pivots > 1e-10)

# 测试4：顺序主子式 n = len(A) tests["主子式>0"] = True for i in range(1, n+1): if np.linalg.det(A[:i, :i]) <= 0: tests["主子式>0"] = False break

for name, result in tests.items(): print(f"{'✓' if result else '✗'} {name}") return all(tests.values())

A = np.array([[2, -1, 0], [-1, 2, -1], [0, -1, 2]]) print("测试正定矩阵:") check_positive_definite(A) ```

### 2.3 2×2 正定的简单判据

\[A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}\]

\(A\) 正定 ⇔ \(a > 0\) 且 \(ac - b^2 > 0\)

3. 二次型与椭圆

方程 \(\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = 1\) ： - 如果 \(A\) 正定：定义**椭球**，主轴方向 = 特征向量，轴长 = \(1/\sqrt{\lambda_i}\) - 如果 \(A\) 有正有负：定义**双曲面**（鞍点） - 如果 \(A\) 半正定：定义**抛物柱面**

4. 应用：多元微积分中的二阶导数检验

函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 在临界点 \(\mathbf{x}^*\) 处（\(\nabla f = \mathbf{0}\)）：

  • Hessian 矩阵 \(H_{ij} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\) 正定 ⇒ 局部极小值
  • Hessian 负定 ⇒ 局部极大值
  • Hessian 不定 ⇒ 鞍点

5. 本节习题

  1. 判断 \(\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\) 是否正定
  2. 判断 \(\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 8 \end{bmatrix}\) 是否正定
  3. 证明：如果 \(A\) 正定，则 \(A^{-1}\) 也正定
  4. 证明：正定矩阵的所有对角线元素都为正
  5. 用特征值分解求椭圆 \(4x^2 + 4xy + 7y^2 = 1\) 的主轴方向

总结

- 对称矩阵可正交对角化，特征值为实 - 正定矩阵：\(\mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0\) - 五个等价条件提供灵活的判断方法 - 正定性在优化、物理、统计学中至关重要